微分流形的几何拓扑
报送单位:首都师范大学 推荐单位:北京市教育委员会

支撑项目(平台):国家自然科学基金项目、国家自然科学基金重点项目、国家杰出青年科学基金项目

参与单位:北京市教育委员会

所属学科:数学

主要贡献者:方复全

成就简介:彻底解决了“4维微分流形到7维欧氏空间中的微分嵌入”问题,证明“正曲率黎曼流形的π2有限性定理”,首次给出“Ricci流存在非奇解的拓扑障碍”,构造了著名几何公开问题的反例等。成果发表在国际顶尖数学期刊,并获国家自然科学二等奖。

  本项目所属领域为几何拓扑。项目的主要贡献有:
  1、证明了“Haefliger-Hirsch-吴文俊”定理在四维依然成立;彻底解决了“4 维微分流形到7 维欧氏空间中的微分嵌入”问题;从而肯定地回答了Whitney,Massey,Haefliger 等多位名家公开提出的、超过三十年没有解决的猜想。
  2、与人合作,证明了“正曲率黎曼流形的π2 有限性定理”,即,在每个维数,pinched正曲率、π2 有限的单连通流形最多只有有限多个。并在很大程度上解决了Fields奖得主、著名数学家丘成桐的一个公开问题。
  这项成果被他人列为自十九世纪以来正曲率流形拓扑结构的九个主要定理之一(见美国科学院院士J.Cheeger 主编的“Surveys in Differential Geometry”)。被法国科学院通讯院士Berger 写入历史文献“二十世纪后半叶的黎曼几何”。
  3、给出了Seiberg-Witten 不变量的K-理论解释,证明了“Seiberg-Witten 不变量的模p 消灭定理”。这项成果被他人作为主要工具,构造了首个四维光滑流形上不可光滑化的有限群作用。并作为多个后续研究的出发点。
  4、与人合作,证明了“若四维流形上Ricci 流非奇解存在,则流形的欧拉示性数非负”,从而首次发现了四维流形上Ricci 流非奇解存在的拓扑障碍。结合Seiberg-Witten 理论,证明了一类四维流形的Thurston 型几何分解定理。这项成果激发了一系列后续研究,被他人称之为“方-张-张不等式”,所提出的猜想被他人称之为“方-张-张猜想”。并作为他人文章章节的标题。
  5、与人合作,构造了一类曲率有界、直径有界的黎曼流形,其有理同伦型互不相同。从而否定回答了著名几何学家Grove 的公开问题。
  这项成果被他人写入牛津大学研究生教材,作为其第六章的主题之一,标题为“Fang-Rong Approach”。文章的方法被他人作为德国著名的Oberwolfach 研究所的会议专题,进行专门研讨。
  6、建立了Quaternionic Kaehler 流形的连通性原理,在具有正数量曲率Quaternionic Kaehler 流形的分类方面取得实质性的进展。这项成果被德国数学文摘评论称之为“beautiful”和“对于Lebrun-Salamon 猜想的肯定贡献”,其中的思想被称之为“very clear”.
  7、与人合作,建立了一般黎曼流形上的连通性原理,并在正曲率流形的分类方面得到应用。这项成果被他人称之为“近年来正曲率几何方面的remarkable progress”。本项目的主要成果发表在顶尖数学期刊Invent.Math.等权威学术杂志,被三个2002 年国际数学家大会45 分钟邀请报告引用,其中两个报告重点引用。项目完成人应邀将在2014 国际数学家大会上做45 分钟特邀报告,报告本项目的有关成果。

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